Bepaling van warmtecapaciteit van een onbekend materiaal

Introductie¶

Onbekende materialen kunnen geïdentificeerd worden door hun eigenschappen te meten. Een van deze eigenschappen is de warmtecapaciteit. In dit practicum gaan we de warmtecapaciteit van een onbekend materiaal bepalen door middel van een calorimeter experiment. Daarbij wordt een bepaalde massa van het materiaal naar een bekende temperatuur gebracht waarna het in een bekende hoeveelheid water met bekende temperatuur wordt geplaatst. Door de temperatuur van het water te meten na het mengen kan de warmtecapaciteit van het onbekende materiaal worden berekend.

Theorie¶

De soortelijke warmte $c$ van een materiaal is gedefinieerd als de hoeveelheid warmte $Q$ die nodig is om de temperatuur $T$ van een kilogram van het materiaal met één graad Celsius (of één Kelvin) te verhogen:

c = \frac{Q}{m \Delta T}

(1)

Waarbij $Q$ de hoeveelheid warmte in Joules is, $m$ de massa in kilogram is en $\Delta T$ de verandering in temperatuur is. Gegeven de wet van Black, die stelt dat de totale hoeveelheid warmte in een geïsoleerd systeem constant blijft, kunnen we de warmte die het onbekende materiaal verliest gelijkstellen aan de warmte die het water opneemt:

Q_{materiaal} = -Q_{water}

(2)

wanneer we de massa’s en de begintemperaturen van beide systemen kennen, maar slechts een van de twee soortelijke warmtes, kunnen we de onbekende soortelijke warmte berekenen. We combineren vergelijkingen (1) en (2) om de volgende vergelijking te krijgen:

T_e = \frac{c_w m_w T_{w,b}+c_m m_m T_{m,b}}{c_w m_w + c_m m_m}

(3)

Waarbij de subscripts $b$ en $e$ respectievelijk staan voor begintoestand en eindtoestand, $w$ voor water en $m$ voor het onbekende materiaal.

Bij metingen aan verschillende massa’s van het onbekende materiaal en vervolgens een least square fit aan bovenstaande vergelijking kunnen we een precieze waarde voor de soortelijke warmte van het onbekende materiaal bepalen. Dat is, wanneer de warmtecapaciteit van bijvoorbeeld de beker te verwaarlozen is.

Methode en materialen¶

Ontwerp¶

De bovenstaande theorie wordt gebruikt om de soortelijke warmte van een onbekend materiaal te bepalen. Het experiment bestaat uit het verwarmen van verschillende massa’s van het onbekende materiaal tot een bekende temperatuur, waarna het in een bekende hoeveelheid water met bekende temperatuur wordt geplaats. Door de temperatuur van het water te meten na het mengen kan de warmtecapaciteit van het onbekende materiaal worden berekend. Om de tijd voor het meten van meerdere materialen te reduceren, worden de data van de verschillende groepen in het lokaal samengevoegd. Van tevoren is afgesproken welke massa’s door welke groep worden gemeten, en hoeveel water er gebruikt wordt.

Materialen¶

Hieronder staat de lijst van benodigde materialen bij deze proef:

Calorimeter
Thermometer of temperatuursensor
Verwarmingsbron
Diverse massablokjes van onbekend materiaal
Weegschaal
Water
Maatcilinder of maatbeker

Figure 1:Een schematische weergave van de opstelling

Procedure¶

Bespreek wie welke massa’s van het onbekende materiaal gaat meten. Bespreek ook hoeveel water er gebruikt gaat worden. Bepaal de begintemperaturen. Hevel het aantal afgesproken massa’s in de maatbeker. Roer voorzicht zodat de temperatuur homogeen is. Noteer de hoogste gemeten temperatuur, dit is $T_e$ . Wissel de metingen uit met de andere groepen en voer de data-analyse uit.

doe een bepaalde hoeveelheid water in een maatbeker met behulp van een maatcilinder. Naarmate de massa’s groter worden, moet de volume water die in de maatbeker wordt
noteer de begintemperatuur van opgewarmde water waar de massa’s in zitten.
noteer de begintemperatuur van het water in de maatbeker.
haal een blokje uit het verwarmde water en droog het met een theedoek.
doe het blokje in de maatbeker, wacht tot de temperatuur van het water stopt met stijgen en noteer deze temperatuur.
haal het blokje uit de maatbeker, droog hem af met een theedoek en bepaal de massa met behulp van een weegschaal en noteer deze.

Resultaten¶

aantal_gewichten = [2,4,6,8,10,12]
m_gewichtjes = np.array([0.100, 0.200, 0.300, 0.400, 0.500, 0.600]) #kg
m_water = np.array([0.1955, 0.200, 0.2094, 0.201, 0.200, 0.205]) #kg
T_begin_water = np.array([20.4, 20.6, 20.5 ,20.5,21.0,20.9])
T_eind_water= np.array([22.9,25.3,26.0,27.8,28.8, 31.1])
T_m_b = 65.0

c_w = 4186 

# naar Kelvin
T_begin_water_K = T_begin_water + 273.15
T_eind_water_K = T_eind_water + 273.15
T_m_b_K = T_m_b + 273.15

T_water_avg_K = np.mean(T_begin_water_K)
m_water_avg = np.mean(m_water)

def T_final_model_K_avg(m_m, c_m):
    delta_T = (c_m * m_m * (T_m_b_K - T_water_avg_K)) / (c_w * m_water_avg + c_m * m_m)
    return T_water_avg_K + delta_T

# Fit curve 
popt, _ = curve_fit(T_final_model_K_avg, m_gewichtjes, T_eind_water_K, p0=[400])
c_m_fit = popt[0]
print(f"soortelijke warmte van de massa's: {c_m_fit:.2f} J/kg·K")

delta_T_data = T_eind_water_K - T_begin_water_K 
delta_T_model = T_final_model_K_avg(m_gewichtjes, c_m_fit) - T_water_avg_K 

# Plot 
plt.scatter(m_gewichtjes, delta_T_data, color='red', label='metingen')
plt.plot(m_gewichtjes, delta_T_model, color='blue', label='fit')
plt.xlabel('Massa (kg)')
plt.ylabel('ΔT (K)')
plt.title('massa vs gewicht')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

soortelijke warmte van de massa's: 412.49 J/kg·K

Figure 2:Hier is het onderschrift van de figuur.

Discussie en conclusie¶

Doordat de metingen niet allemaal door dezelfde persoon zijn uitgevoerd, maar door heel veel verschillende groepjes, is het aannemelijk dat er een meetfout in de metingen zit. Dit kan komen omdat niet iedereen op dezelfde manier meet en de een wat minder nauwkeurig kan meten dan de ander. In de toekomst zou het beter zijn als alle metingen door dezelfde persoon worden uitgevoerd. Dit betekent dat er dus meer tijd moet worden vrijgegeven voor het meten. Ook kan het zijn dat er tijdens het meten niet goed is geroerd waardoor er een meetfout in zit. Uit dit experiment kan de conclusie getrokken worden dat de soortelijke warmte van de massa’s 412.49 J/kg·K is.